Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{x}$ ; $[1, 10]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{5}{x} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{5}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$5 = 0$

Paso 1.2.2

Como $5 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x - \int_{1}^{10} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $10$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\frac{5}{x}$ .

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x$

Paso 3.3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{10} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |)]_{1}^{10})$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $10$ y en $1$ .

$5 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 3.5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |})$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $10$ es $10$ .

$5 \ln (\frac{10}{| 1 |})$

Paso 3.5.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$5 \ln (\frac{10}{1})$

Paso 3.5.3.3

Divide $10$ por $1$ .

$5 \ln (10)$

Paso 4

Suma las áreas $5 \ln (10)$ .

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Paso 4.1

Simplifica $5 \ln (10)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\ln (10^{5})$

Paso 4.2

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$\ln (100000)$

Paso 5