Cálculo Ejemplos

$10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Paso 1.2

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

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Paso 2.1

Como $0.8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ con respecto a $t$ es $0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$0 + 0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (t \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{100})] + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = \frac{t^{3}}{100}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.4

Como $\frac{1}{100}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t^{3}}{100}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}])) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.7

Combina $3$ y $\frac{1}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{3}{100} t^{2})) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.8

Combina $\frac{3}{100}$ y $t^{2}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{3 t^{2}}{100}) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.9

Combina $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ y $\frac{3 t^{2}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t \frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.10

Combina $t$ y $\frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100}$ .

$0 + 0.8 (\frac{t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.11

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{2} t^{1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + 0.8 (\frac{t^{2 + 1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.13

Suma $2$ y $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.14

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cdot \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Paso 2.15

Multiplica $\sin (\frac{t^{3}}{100})$ por $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 + 0.8 \frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $0.8$ y $\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100}$ .

$0 + \frac{0.8 (t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $0.8$ .

$0 + \frac{2.4 (t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2.4$ de $2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.3.2

Factoriza $100$ de $100$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100 (1)} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.3.3

Separa las fracciones.

$\frac{2.4}{100} \cdot \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.3.4

Divide $2.4$ por $100$ .

$0.024 \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Paso 3.3.5

Divide $t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ por $1$ .

$0.024 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}) + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$