Cálculo Ejemplos

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.6.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.8

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.11

Multiplica $3 (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.11.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 2.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.12.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.12.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.14

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.16

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.18

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 2.1.19

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Paso 2.1.20

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Paso 2.1.21

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.21.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Paso 2.1.21.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Paso 2.1.22

Retira los términos de abajo del radical.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Paso 2.1.23

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $9$ de $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.2.2

Suma $- 3 i \sqrt{3}$ y $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Paso 2.2.3

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 8$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 6.4

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 6.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 8}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $π$ .

$θ = π$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = π$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$