Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \sqrt[3]{x}$

Paso 2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ en $1$ y en $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 5.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 5.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Paso 5.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Paso 5.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Paso 5.2.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

Paso 5.2.2.8

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.8.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Paso 5.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

Paso 5.2.2.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

Paso 5.2.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

Paso 5.2.2.10

Suma $\frac{3}{5}$ y $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

Paso 5.2.2.11

Combina $π$ y $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

Paso 5.2.2.12

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{3 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 1.88495559 \dots$

Paso 7