Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 3$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3.3.3

Reescribe $- 1 (x^{2} - 3)$ como $- (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Paso 1.1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 1.1.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.7

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Paso 1.1.4.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Paso 1.1.4.5

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $3 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $- x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- x - 1$ igual a $0$ .

$- x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.2.1

Resta $4 e^{2}$ de $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 8 e^{2}$ y $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $- 5 e^{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.9

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Paso 6.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Paso 6.2.1.12

Combina $3$ y $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 6.2.2.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Paso 6.2.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{4}{e}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, 3)$ .

Incremento en $(- 1, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.5

Combina $- 16$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.10

Combina $8$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Paso 7.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Paso 7.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Paso 7.2.1.13

Combina $3$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1

Suma $- 16$ y $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Paso 7.2.2.2.2

Suma $- 8$ y $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Paso 7.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $- \frac{5}{e^{4}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, \infty)$ .

Decrecimiento en $(3, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, 3)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Paso 9