Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 5 x$ y $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.10.2

Multiplica $x^{2} + 5 x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.1

Expande $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.2.1

Multiplica $2$ por $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2

Multiplica $25$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.2.1

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2.2

Suma $50 x + 125 - 5 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.3

Suma $- 5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.2

Factoriza $5$ de $50 x$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.3

Factoriza $5$ de $125$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.4

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.1.5

Factoriza $5$ de $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.1.3.5.2.3

Reescribe el polinomio.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.6.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Reordena $- x^{2}$ y $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.4

Aplica la regla del producto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Cancela el factor común de ${(x + 5)}^{2}$ y ${(5 + x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.7.1

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 = 0$

Paso 3.3

Como $5 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(5 - x)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece $5 - x$ igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Paso 5.2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 5$

Paso 5.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.3.1

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ .

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$f' (4) = 5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $5$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 5)$ .

Incremento en $(- \infty, 5)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Resta $6$ de $5$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = \frac{5}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$f' (6) = 5$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 8.3

En $x = 6$ la derivada es $5$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(5, \infty)$ .

Incremento en $(5, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 5), (5, \infty)$

Paso 10