Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 7 y + 16$

Paso 1

Escribe $f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 7 y - 16 = 0$ como una función.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 7 y - 16$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x^{2} = x y + y^{2} - 7 y + 16$

Paso 2.2

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x^{2} - x y = y^{2} - 7 y + 16$

Paso 2.3

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} = - 7 y + 16$

Paso 2.4

Suma $7 y$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 7 y = 16$

Paso 2.5

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 7 y - 16 = 0$

Paso 3

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x^{2} - x y - y^{2} + 7 y - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.5.2

Como $7 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 3.5.3

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + 0$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Combina los términos.

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Paso 3.6.1.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0$

Paso 3.6.1.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0$

Paso 3.6.1.3

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Paso 4

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 4.3

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 4.4.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y))$

Paso 4.4.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y))$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 4.4.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.4.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 4.4.3.1.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 4.4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 4.4.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y))$

Paso 4.4.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$f'' (x) = - 2 + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 4.5

Suma $- 2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 5

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Paso 6

Obtén la primera derivada.

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Paso 6.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 6.1.4.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.5.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + \frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.5.2

Como $7 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Paso 6.1.5.3

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0 + 0$

Paso 6.1.6

Simplifica.

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Paso 6.1.6.1

Combina los términos.

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Paso 6.1.6.1.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0 + 0$

Paso 6.1.6.1.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y + 0$

Paso 6.1.6.1.3

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x - y$

Paso 6.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 x - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Paso 6.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ .

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$

Paso 7

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x - y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Paso 8

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{d}{d x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$d x = 0$

Paso 8.2

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Divide $0$ por $d$ .

$x = 0$

Paso 9

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Multiplica $d$ por $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Paso 11.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 12

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 13