Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{8}{7}}$ , $y = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{\frac{8}{7}} = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 0, 6$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 6 \cdot 0^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.3.1.1

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

$y = 6 {(0^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.3.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 1.3.2.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.3.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 1.3.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 6 \cdot 0^{1}$

Paso 1.3.2.3.3

Evalúa el exponente.

$y = 6 \cdot 0$

Paso 1.3.2.3.4

Multiplica $6$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 6$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2

Sustituye $6$ por $x$ en $y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 6 \cdot 6^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $6$ por ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.3.1

Multiplica $6$ por ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 1.4.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

$y = 6^{1} {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 6^{1 + \frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 6^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}}$

Paso 1.4.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 6^{\frac{7 + 1}{7}}$

Paso 1.4.2.3.4

Suma $7$ y $1$ .

$y = 6^{\frac{8}{7}}$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $6$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - (x^{\frac{8}{7}}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{6} x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{7}{8}$ y $x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{8}{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}]_{0}^{6})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{7}{15}$ y $x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Paso 3.9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Evalúa $\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}$ en $6$ y en $0$ .

$6 ((\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}) - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Paso 3.9.2.2

Evalúa $\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}$ en $6$ y en $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3

Simplifica.

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Paso 3.9.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.9.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.5

Multiplica $7$ por $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $8$ .

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Paso 3.9.2.3.6.1

Factoriza $8$ de $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 (0)}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.6.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} + 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.8

Suma $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ y $0$ .

$6 \frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.9

Combina $6$ y $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ .

$\frac{6 (7 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.10

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.11

Factoriza $2$ de $42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 (4)} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 \cdot 4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.13

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{15}{7}}}{15})$

Paso 3.9.2.3.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Paso 3.9.2.3.15

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.9.2.3.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Paso 3.9.2.3.15.2

Reescribe la expresión.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{15}}{15})$

Paso 3.9.2.3.16

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0}{15})$

Paso 3.9.2.3.17

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{15})$

Paso 3.9.2.3.18

Cancela el factor común de $0$ y $15$ .

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Paso 3.9.2.3.18.1

Factoriza $15$ de $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 (0)}{15})$

Paso 3.9.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.18.2.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{1})$

Paso 3.9.2.3.18.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - 0)$

Paso 3.9.2.3.19

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} + 0)$

Paso 3.9.2.3.20

Suma $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ y $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Paso 3.9.2.3.21

Para escribir $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Paso 3.9.2.3.22

Para escribir $- \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.9.2.3.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $60$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.9.2.3.23.1

Multiplica $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.9.2.3.23.2

Multiplica $4$ por $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.9.2.3.23.3

Multiplica $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{15 \cdot 4}$

Paso 3.9.2.3.23.4

Multiplica $15$ por $4$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Paso 3.9.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15 - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Paso 3.9.2.3.25

Multiplica $15$ por $21$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Paso 3.9.2.3.26

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 28 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{60}$

Paso 4