Cálculo Ejemplos

$x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 1.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (x) = - x$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $x^{2} \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $x$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.2.2

Simplifica.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.2.3

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2.4

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Paso 4.1.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Paso 4.1.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Paso 5