Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $x \sqrt{2 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Combina fracciones.

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Paso 2.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.3

Mueve ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 2.23

Multiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.24

Para escribir ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.26

Multiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.27

Simplifica ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.29

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ y $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.4.6

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = - x^{2} + 2$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.10

Combina fracciones.

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Paso 3.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.10.3

Mueve ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.15

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.16

Simplifica los términos.

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Paso 3.16.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.16.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.16.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.16.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.17.1

Factoriza $2$ de $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.17.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.17.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.20

Multiplica $- 2 x^{2} + 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21

Simplifica.

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Paso 3.21.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.21.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.2

Multiplica $- 2 x^{2} + 2$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.21.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 2$ .

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Paso 3.21.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3.3

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.4

Para escribir $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.5

Combina $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ y $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7

Reescribe $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 3.21.1.7.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ .

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Paso 3.21.1.7.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 (1 + x) (1 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2

Combina exponentes.

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Paso 3.21.1.7.2.1

Multiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.21.1.7.2.1.1

Mueve ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.7.2.2

Simplifica $- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.21.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.4

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.21.1.8.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.21.1.8.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.21.1.8.5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.21.1.8.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.2

Suma $- x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.5.3

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.6

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.1.8.7

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.2

Combina los términos.

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Paso 3.21.2.1

Reescribe $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

Paso 3.21.2.2

Multiplica $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Paso 3.21.2.3

Multiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 2$ sumando los exponentes.

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Paso 3.21.2.3.1

Multiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 2$ .

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Paso 3.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 2$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Paso 3.21.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 3.21.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 3.21.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 3.21.2.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.8

Combina fracciones.

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Paso 5.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.8.3

Mueve ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.18

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.20

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.20.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.20.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 5.1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 5.1.23

Multiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.1.24

Para escribir ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.26

Multiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.27

Simplifica ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.29

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 2$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Paso 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 6.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 6.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 6.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 6.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{{(- x^{2} + 2)}^{1}}}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{- x^{2} + 2}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{- x^{2} + 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{- x^{2} + 2} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- x^{2} + 2}}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x^{2} + 2}$ como ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x^{2} + 2)}^{1} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Simplifica.

$- x^{2} + 2 = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 2$

Paso 7.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Paso 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 7.3.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 7.3.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 7.3.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{- x^{2} + 2}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$- x^{2} + 2 < 0$

Paso 7.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 2$

Paso 7.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 2}{- 1}$

Paso 7.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} > 2$

Paso 7.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{2}$

Paso 7.5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{2}$

Paso 7.5.5

Escribe $| x | > \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 7.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > \sqrt{2}$

Paso 7.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 7.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > \sqrt{2}$

Paso 7.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 7.5.6

Obtén la intersección de $x > \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{2}$

Paso 7.5.7

Divide cada término en $- x > \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.7.1

Divide cada término de $- x > \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 7.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.7.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{2}$

Paso 7.5.7.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x < - \sqrt{2}$

Paso 7.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - \sqrt{2}$ o $x > \sqrt{2}$

Paso 7.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - \sqrt{2}, x \geq \sqrt{2}$

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{2}, x \geq \sqrt{2}$

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1, - \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (1 - 3)}{1}$

Paso 10.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{1}$

Paso 10.4

Simplifica la expresión.

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Paso 10.4.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4}{1}$

Paso 10.4.2

Divide $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 11

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Multiplica $\sqrt{2 - {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Paso 12.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

Paso 12.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - 1}$

Paso 12.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Paso 12.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

Paso 14.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

Paso 14.4

Simplifica la expresión.

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Paso 14.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{1}$

Paso 14.4.2

Divide $4$ por $1$ .

$4$

Paso 15

$x = - 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = (- 1) \sqrt{2 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 16.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Paso 16.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 16.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 16.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 - 1}$

Paso 16.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{1}$

Paso 16.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 1$

Paso 16.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 16.2.6

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 18.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 18.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 18.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 18.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 18.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 18.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 18.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{3}}$

Paso 18.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0}$

Paso 18.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0}$

Paso 18.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 19

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 20