Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} - 1}{\sin (t)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} - 1}{\sin (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 t} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{3 e^{3 t} + 0}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.5

Suma $3 e^{3 t}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{3 e^{3 t}}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{3 e^{3 t}}{\cos (t)}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$3 lim_{t \to 0} \frac{e^{3 t}}{\cos (t)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{lim_{t \to 0} e^{3 t}}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$3 \frac{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$3 \frac{e^{3 lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$3 \frac{e^{3 lim_{t \to 0} t}}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$3 \frac{e^{3 \cdot 0}}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$3 \frac{e^{3 \cdot 0}}{\cos (0)}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Separa las fracciones.

$3 (\frac{e^{3 \cdot 0}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)})$

Paso 10.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$3 (\frac{e^{3 \cdot 0}}{1} \sec (0))$

Paso 10.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$3 (\frac{e^{0}}{1} \sec (0))$

Paso 10.4

Divide $e^{0}$ por $1$ .

$3 (e^{0} \sec (0))$

Paso 10.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$3 (1 \sec (0))$

Paso 10.6

Multiplica $\sec (0)$ por $1$ .

$3 \sec (0)$

Paso 10.7

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 10.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$