Cálculo Ejemplos

$\frac{4 t}{\sqrt[3]{t^{2} + 3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t^{2} + 3}$ como ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ y $g (t) = t^{2} + 3$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 8.2

Resta $3$ de $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{{(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.3

Mueve ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ y $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13.3

Combina $- 2$ y $\frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13.4

Combina $\frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ y $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t \cdot t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{1 + 1}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 17

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19

Para escribir ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 20

Combina ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22

Multiplica ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1

Mueve ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.4

Suma $2$ y $1$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.5

Divide $3$ por $3$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 23

Simplifica ${(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3$ .

$4 \frac{\frac{(t^{2} + 3) \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 24

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 25

Reescribe $\frac{\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$4 (\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 26

Multiplica $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 27

Multiplica ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.1

Mueve ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 ({(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 27.4

Suma $2$ y $2$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 28

Combina $4$ y $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29

Simplifica.

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Paso 29.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 t^{2} + 3 \cdot 3 - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 t^{2}) + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.3

Simplifica el numerador.

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Paso 29.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 29.3.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.3.1.2

Multiplica $4 (3 \cdot 3)$ .

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Paso 29.3.1.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 \cdot 9 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 - 8 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.3.2

Resta $8 t^{2}$ de $12 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{2} + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.4

Factoriza $4$ de $4 t^{2} + 36$ .

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Paso 29.4.1

Factoriza $4$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{4 (t^{2}) + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.4.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{4 t^{2} + 4 \cdot 9}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 29.4.3

Factoriza $4$ de $4 t^{2} + 4 \cdot 9$ .

$\frac{4 (t^{2} + 9)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$