Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2}$ ; $y = 12$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$3 x^{2} = 12$

Paso 1.2

Resuelve $3 x^{2} = 12$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.3

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = 12$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 12)$

$(- 2, 12)$

$(2, 12)$

$(- 2, 12)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} 12 d x - \int_{- 2}^{2} 3 x^{2} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 2}^{2} 12 - (3 x^{2}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} 12 - 3 x^{2} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{2} 12 d x + \int_{- 2}^{2} - 3 x^{2} d x$

Paso 3.4

Aplica la regla de la constante.

$12 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 3 x^{2} d x$

Paso 3.5

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2})$

Paso 3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$12 x]_{- 2}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Paso 3.7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Evalúa $12 x$ en $2$ y en $- 2$ .

$(12 \cdot 2) - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2})$

Paso 3.7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $- 2$ .

$12 \cdot 2 - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 3.7.2.3

Simplifica.

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Paso 3.7.2.3.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$24 - 12 \cdot - 2 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 3.7.2.3.2

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$24 + 24 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 3.7.2.3.3

Suma $24$ y $24$ .

$48 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 3.7.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 3.7.2.3.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3})$

Paso 3.7.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$48 - 3 (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3})$

Paso 3.7.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Paso 3.7.2.3.8

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$48 - 3 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3})$

Paso 3.7.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$48 - 3 \frac{8 + 8}{3}$

Paso 3.7.2.3.10

Suma $8$ y $8$ .

$48 - 3 (\frac{16}{3})$

Paso 3.7.2.3.11

Combina $- 3$ y $\frac{16}{3}$ .

$48 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Paso 3.7.2.3.12

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$48 + \frac{- 48}{3}$

Paso 3.7.2.3.13

Cancela el factor común de $- 48$ y $3$ .

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Paso 3.7.2.3.13.1

Factoriza $3$ de $- 48$ .

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Paso 3.7.2.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.3.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Paso 3.7.2.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$48 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Paso 3.7.2.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$48 + \frac{- 16}{1}$

Paso 3.7.2.3.13.2.4

Divide $- 16$ por $1$ .

$48 - 16$

Paso 3.7.2.3.14

Resta $16$ de $48$ .

$32$

Paso 4