Cálculo Ejemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Paso 3.2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Paso 3.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 3.8

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Paso 3.9

Combina fracciones.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Paso 3.9.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Paso 3.9.3

Combina $e^{\ln^{2} (x)}$ y $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Paso 3.10.2

Multiplica $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Paso 3.10.2.1

Reordena $\ln (x)$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Paso 3.10.2.2

Simplifica $2 \cdot \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Paso 3.10.3

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$