Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{\ln (x)}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - \ln (x) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x) = - 1$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Paso 3.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\ln (x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Paso 3.3.5

Reescribe la ecuación como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $e$ .

$e$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 5.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Paso 7

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, e)$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, e)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.35914085$ en la expresión.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Eleva $1.35914085$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Paso 8.2.2

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Paso 8.2.3

El logaritmo en base $2.71828182$ de $1.35914085$ es aproximadamente $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Paso 8.2.5

Resta $0.30685277$ de $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Paso 8.2.6

Divide $0.69314722$ por $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Paso 8.2.7

La respuesta final es $0.37522914$ .

$0.37522914$

Paso 8.3

En $x = 1.35914085$ la derivada es $0.37522914$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, e)$ .

Incremento en $(0, e)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, e), (e, \infty)$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(e, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.7182817$ en la expresión.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Eleva $3.7182817$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Paso 10.2.2

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Paso 10.2.3

El logaritmo en base $2.71828182$ de $3.7182817$ es aproximadamente $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Paso 10.2.4

Multiplica $- 1$ por $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Paso 10.2.5

Resta $1.31326165$ de $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Paso 10.2.6

Divide $- 0.31326165$ por $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Paso 10.2.7

La respuesta final es $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Paso 10.3

En $x = 3.7182817$ la derivada es $- 0.02265805$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(e, \infty)$ .

Decrecimiento en $(e, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, e)$

Decrecimiento en: $(e, \infty)$

Paso 12