Cálculo Ejemplos

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 5]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$e^{2 x} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $e^{2 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Paso 1.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 1.2.3

No hay soluciones para $e^{2 x} = 0$

No hay solución

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{5} e^{2 x} d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $5$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{5} e^{2 x} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{5} e^{2 x} d x$

Paso 3.3

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$u_{upper} = 10$

Paso 3.3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Paso 3.3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3.4

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 3.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{10} e^{u} d u$

Paso 3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{10}$

Paso 3.7

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.7.1

Evalúa $e^{u}$ en $10$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{10}) - e^{0})$

Paso 3.7.2

Simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

Paso 3.7.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{10} - 1)$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e^{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{10}$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{e^{10}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{10}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4