Cálculo Ejemplos

$5 e^{3 t} = 8 e^{2 t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5 e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (5 e^{3 t})$ como $\ln (5) + \ln (e^{3 t})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Paso 2.2

Expande $\ln (e^{3 t})$ ; para ello, mueve $3 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + 3 t \ln (e) = \ln (8 e^{2 t})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (5) + 3 t \cdot 1 = \ln (8 e^{2 t})$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8 e^{2 t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (8 e^{2 t})$ como $\ln (8) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + \ln (e^{2 t})$

Paso 3.2

Expande $\ln (e^{2 t})$ ; para ello, mueve $2 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \ln (e)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (5) - \ln (8) = - 3 t + 2 t$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - 3 t + 2 t$

Paso 6

Suma $- 3 t$ y $2 t$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - t$

Paso 7

Como $t$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- t = \ln (\frac{5}{8})$

Paso 8

Divide cada término en $- t = \ln (\frac{5}{8})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $- t = \ln (\frac{5}{8})$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Paso 8.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$

Paso 8.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$ como $- \ln (\frac{5}{8})$ .

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Forma decimal:

$t = 0.47000362 \dots$