Cálculo Ejemplos

$y = x^{3}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x^{3}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$V = x^{6}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{3}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{7}$ .

$V = π \frac{x^{7}}{7}]_{1}^{3}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{x^{7}}{7}$ en $3$ y en $1$ .

$V = π ((\frac{3^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1^{7}}{7})$

Paso 4.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1}{7})$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{2187 - 1}{7})$

Paso 4.2.2.4

Resta $1$ de $2187$ .

$V = π (\frac{2186}{7})$

Paso 4.2.2.5

Combina $π$ y $\frac{2186}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 2186}{7}$

Paso 4.2.2.6

Mueve $2186$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{2186 π}{7}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{2186 π}{7}$

Forma decimal:

$V = 981.07450582 \dots$

Paso 6