Cálculo Ejemplos

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

Paso 1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ por $12$ .

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Divide $84$ por $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4.2

Combina $7$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

Paso 4.4

Multiplica $7$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{28 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $28 + x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

Paso 4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

Paso 4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

Paso 4.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{28 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt{28 + x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$28 + x^{2} \geq 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Resta $28$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 28$

Paso 7.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 8

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 9

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Paso 10

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Paso 11