Cálculo Ejemplos

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Paso 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - 27 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27 y$ con respecto a $x$ es $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 90$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Paso 2.3.3

Como $- 90$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 90$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $3 y'$ de $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Paso 2.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Paso 2.5.3

Factoriza.

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Paso 2.5.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Paso 2.5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ por $3 (y + 3) (y - 3)$ y simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ por $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 2.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2.3

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 2.5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Paso 4.2.2

Resta $90$ de $0$ .

$f (0) = - 90$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 90$ .

$- 90$

Paso 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Paso 6