Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = 8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y]$ .

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Paso 1.2.1

Como $8 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $8 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$24 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Como $- 7 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $24 y x^{2}$ y $0$ .

$24 y x^{2} + 2$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 24 x^{2} y + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{2} y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $24 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $24 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 y (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$48 y x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$48 y x + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $48 y x$ y $0$ .

$48 y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $48 y x$ .

$f'' (x) = 48 x y$