Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función $f$ en un intervalo especificado $[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Paso 3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Paso 3.6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Paso 3.6.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Paso 3.6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Paso 3.6.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 3.6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Paso 3.6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 3.7

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 3.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Paso 3.9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Paso 3.10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Evalúa $x$ en $4$ y en $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Paso 3.10.2

Evalúa $\sin (u)$ en $8$ y en $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Paso 3.10.3

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Paso 3.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1.1.1

Evalúa $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Paso 3.11.1.1.2

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Paso 3.11.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Paso 3.11.1.2

Resta $0.75680249$ de $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Paso 3.11.1.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1.3.1

Multiplica $0.23255575$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Paso 3.11.1.3.2

Combina $- 0.23255575$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Paso 3.11.1.4

Divide $- 0.23255575$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Paso 3.11.2

Resta $0.11627787$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Paso 3.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Paso 3.11.4

Divide $5.88372212$ por $2$ .

$2.94186106$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $\frac{1}{4 + 2}$ y $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Suma $4$ y $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Paso 4.2.2

Divide $2.94186106$ por $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$