Cálculo Ejemplos

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función $f$ en un intervalo especificado $[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Paso 3.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Paso 3.3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.3.1

Evalúa $\frac{1}{9} x^{9}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Paso 3.3.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 3.3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 1}{9}$

Paso 3.3.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9}$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{1 + 1}$ por $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión $\frac{2}{2 \cdot 9}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Paso 4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Paso 4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Paso 5