Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x e^{- x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 2.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 2.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Paso 2.4.2.3

Resta $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$