Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Paso 1

Calcula la derivada de $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Paso 9

Reescribe ${\sqrt{x}}^{7}$ como $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Paso 10

Combina $18$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Paso 11

Combina $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Factoriza $2$ de $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Reescribe $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ como $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 14.1

Reescribe $x^{7}$ como ${(x^{3})}^{2} x$ .

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Paso 14.1.1

Factoriza $x^{6}$ .

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.1.2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.5

Simplifica el numerador.

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Paso 16.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 18

Multiplica $x^{\frac{7}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Paso 18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Paso 18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Paso 18.4

Suma $- 1$ y $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Paso 18.5

Divide $6$ por $2$ .

$9 x^{3}$