Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 4 x^{- 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 1 + 8 x^{- 3}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Reordena los términos.

$f' (x) = 8 x^{- 3} + 1$

Paso 1.1.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 8 (\frac{1}{x^{3}}) + 1$

Paso 1.1.3.2.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{3}} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{x^{3}} + 1$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{8}{x^{3}} = - 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$8 = - x^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{3} = 8$ .

$- x^{3} = 8$

Paso 2.5.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} - 8 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) - 8 = 0$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot 8 = 0$

Paso 2.5.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (8)$ .

$- (x^{3} + 8) = 0$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Paso 2.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.4.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.4.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Paso 2.5.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5.6

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.1

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.5.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Paso 2.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.6.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.5.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 2$ .

$- 2$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{8}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{8}{{(- 3)}^{3}} + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3) = \frac{8}{- 27} + 1$

Paso 6.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + 1$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + \frac{27}{27}$

Paso 6.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = \frac{- 8 + 27}{27}$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 8$ y $27$ .

$f' (- 3) = \frac{19}{27}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{19}{27}$ .

$\frac{19}{27}$

Paso 6.3

En $x = - 3$ la derivada es $\frac{19}{27}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{8}{{(- 1)}^{3}} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{- 1} + 1$

Paso 7.2.1.2

Divide $8$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 8 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $- 8$ y $1$ .

$f' (- 1) = - 7$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 7$ .

$- 7$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 7$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{8}{{(1)}^{3}} + 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{8}{1} + 1$

Paso 8.2.1.2

Divide $8$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 1$

Paso 8.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$f' (1) = 9$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $9$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, 0)$

Paso 10