Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t]$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el término $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.2

Eleva $\sqrt{t}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.3

Eleva $\sqrt{t}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6

Reescribe ${\sqrt{t}}^{2}$ como $t$ .

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Paso 2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0]$

Paso 2.4.6.5

Simplifica.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0]$

Paso 2.5

Multiplica $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ por $0$ .

$\frac{d}{d x} [0]$