Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x - 24$ ; $[2, 6]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$8 x - 24 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $8 x - 24 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x = 24$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $8 x = 24$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $8 x = 24$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{8}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.3.1

Divide $24$ por $8$ .

$x = 3$

Paso 1.3

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 8 x - 24 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $2$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{3} 0 - (8 x - 24) d x$

Paso 3.2

Resta $8 x - 24$ de $0$ .

$\int_{2}^{3} - (8 x - 24) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{3} - (8 x) + 24 d x$

Paso 3.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 x - - 24$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 24$ .

$- 8 x + 24$

$\int_{2}^{3} - 8 x + 24 d x$

Paso 3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} - 8 x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Paso 3.6

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$- 8 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Paso 3.9

Aplica la regla de la constante.

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 24 x]_{2}^{3}$

Paso 3.10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $2$ .

$- 8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 24 x]_{2}^{3}$

Paso 3.10.2

Evalúa $24 x$ en $3$ y en $2$ .

$- 8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.5

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.8.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 8 \frac{9 - 4}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.8.2

Resta $4$ de $9$ .

$- 8 (\frac{5}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.9

Combina $- 8$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot 5}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.10

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$\frac{- 40}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.11

Cancela el factor común de $- 40$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 40$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2 (1)} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 20}{1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.11.2.4

Divide $- 20$ por $1$ .

$- 20 + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.12

Multiplica $24$ por $3$ .

$- 20 + 72 - 24 \cdot 2$

Paso 3.10.3.13

Multiplica $- 24$ por $2$ .

$- 20 + 72 - 48$

Paso 3.10.3.14

Resta $48$ de $72$ .

$- 20 + 24$

Paso 3.10.3.15

Suma $- 20$ y $24$ .

$4$

Paso 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 8 x - 24 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $3$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 - (0) d x$

Paso 5.2

Resta $0$ de $8 x - 24$ .

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{3}^{6} 8 x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Paso 5.4

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Paso 5.7

Aplica la regla de la constante.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Paso 5.8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $6$ y en $3$ .

$8 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Paso 5.8.2

Evalúa $- 24 x$ en $6$ y en $3$ .

$8 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$8 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$8 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$8 (18 - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.4

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.5

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.7.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$8 \frac{36 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.7.2

Resta $9$ de $36$ .

$8 (\frac{27}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.8

Combina $8$ y $\frac{27}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 27}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.9

Multiplica $8$ por $27$ .

$\frac{216}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.10

Cancela el factor común de $216$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.10.1

Factoriza $2$ de $216$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2 (1)} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 108}{2 \cdot 1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{108}{1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.10.2.4

Divide $108$ por $1$ .

$108 - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.11

Multiplica $- 24$ por $6$ .

$108 - 144 + 24 \cdot 3$

Paso 5.8.3.12

Multiplica $24$ por $3$ .

$108 - 144 + 72$

Paso 5.8.3.13

Suma $- 144$ y $72$ .

$108 - 72$

Paso 5.8.3.14

Resta $72$ de $108$ .

$36$

Paso 6

Suma $4$ y $36$ .

$40$

Paso 7