Cálculo Ejemplos

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Paso 1

Escribe $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ como una función.

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 5

Dado que $36$ es constante con respecto a $x$ , mueve $36$ fuera de la integral.

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = - 4 x$ . Entonces $d u_{1} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 7.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 36$ .

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $- 36$ y $4$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 11.2.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 12

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 13

Dado que $24$ es constante con respecto a $x$ , mueve $24$ fuera de la integral.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Paso 14

Sea $u_{2} = - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 14.1

Deja $u_{2} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 14.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 14.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 14.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 15.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 16

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

Paso 17

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 18

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 19.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 19.2.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 19.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 19.2.2.2

Cancela el factor común.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 19.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 19.2.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 20

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Paso 21

Aplica la regla de la constante.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Paso 22

Simplifica.

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Paso 23

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 23.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Paso 23.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

Paso 24

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ .

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$