Cálculo Ejemplos

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

Paso 4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

Paso 5

Completa el cuadrado.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

Paso 5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

Paso 5.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

Paso 5.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

Paso 5.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común de $15$ y $5$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.2.1

Factoriza $5$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Paso 5.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Paso 5.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2}$

Paso 5.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

Paso 5.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

Paso 5.5.2.1.3

Cancela el factor común de $225$ y $20$ .

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Paso 5.5.2.1.3.1

Factoriza $5$ de $225$ .

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

Paso 5.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1.3.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Paso 5.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Paso 5.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

Paso 5.5.2.2

Resta $\frac{45}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

Paso 5.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

Paso 6

Sea $u = x + \frac{3}{2}$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + \frac{3}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{3}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Paso 6.1.4

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $5$ de $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $5$ de $5 u^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

Paso 7.1.2

Factoriza $5$ de $- \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

Paso 7.1.3

Factoriza $5$ de $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

Paso 7.2

Reescribe $\frac{9}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = u$ y $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Paso 9

Para escribir $u$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Combina $u$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Paso 10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Paso 11

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Paso 12

Para escribir $u$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Combina $u$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Paso 13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

Paso 14

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Paso 15

Combina exponentes.

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Paso 15.1

Combina $5$ y $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Paso 15.2

Multiplica $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ por $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

Paso 15.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

Paso 16

Reescribe $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ .

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Paso 16.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

Paso 16.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

Paso 16.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

Paso 17

Simplifica los términos.

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Paso 17.1

Retira los términos de abajo del radical.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

Paso 17.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 17.4

Multiplica.

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Paso 17.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 17.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 18

Expande $(10 u + 15) (2 u - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Paso 18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.2

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1.2.1

Mueve $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.2.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.3

Multiplica $10$ por $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.4

Multiplica $- 3$ por $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.5

Multiplica $2$ por $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Paso 19.1.6

Multiplica $15$ por $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

Paso 19.2

Suma $- 30 u$ y $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

Paso 19.3

Suma $20 u^{2}$ y $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

Paso 20

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

Paso 21

Sea $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ es positiva.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22

Simplifica los términos.

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Paso 22.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

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Paso 22.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 22.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.5

Combina $\frac{3}{2}$ y $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 22.1.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.6.2

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 22.1.1.9.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.1.10

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.2

Factoriza $45$ de $45 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.3

Factoriza $45$ de $- 45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.4

Factoriza $45$ de $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.6

Reescribe $45 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ .

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Paso 22.1.6.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.6.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.6.3

Mueve $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.6.4

Reescribe $3^{2} \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Paso 22.2

Simplifica.

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Paso 22.2.1

Combina $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ y $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.3

Combina $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.5

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 22.2.8

Combina $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Paso 23

Dado que $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Multiplica $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 24.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 25

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 26

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Paso 27

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 27.2

Simplifica cada término.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Paso 28

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 29

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 30

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 31

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Paso 32

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 33

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 34

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 35

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 36

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 36.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 36.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 37

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 38

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 38.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 38.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 38.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 39

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 40

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 41

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 42

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 43

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 44

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 45

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 46

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 47

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 48

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 49

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 49.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 49.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 50

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 51

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 52

Simplifica.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 53

Simplifica.

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Paso 53.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 53.2

Suma $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ y $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Paso 53.3

Multiplica $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ por $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Paso 53.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Paso 54

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 54.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

Paso 54.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55

Simplifica.

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Paso 55.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 55.2.1

Cancela el factor común.

Paso 55.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 55.4.1

Cancela el factor común.

Paso 55.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 55.6.1

Cancela el factor común.

Paso 55.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 55.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Paso 55.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

Paso 56

Reordena los términos.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

Paso 57

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$