Cálculo Ejemplos

$3^{x + 1} d x$

Paso 1

Escribe $3^{x + 1} d x$ como una función.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

Paso 4

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = 3^{x + 1}$ .

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{\ln (3)}$ y $3^{x + 1}$ .

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{\ln (3)}$ y $3^{x + 1}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{\ln (3)}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{\ln (3)}$ fuera de la integral.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

Paso 8

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $3^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ como $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Para escribir $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln^{2} (3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ por $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.2.2

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.2.3

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Paso 10.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Paso 10.2.4

Combina $d$ y $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ .

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3^{x + 1} d x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$