Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Paso 4

Reescribe $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ como $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 6

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int u d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Paso 8.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{2} + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$u^{2} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln^{2} (x) + C$