Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{e^{x}}$ como una función.

$f (x) = - \frac{1}{e^{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$- \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 5.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 5.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \int 1 e^{- x} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- \int e^{- x} d x$

Paso 6

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int - e^{u} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- - \int e^{u} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int e^{u} d u$

Paso 8.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$\int e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - \frac{1}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $e^{- x} + C$