Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{27}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{27}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{27} \int {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 x^{2} + 6)}^{3}} d x$

Paso 6

Sea $x = \frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ es positiva.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Simplifica $\sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Combina $\frac{\sqrt{6}}{3}$ y $\tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 7.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{1} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 7.1.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{1})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.2

Factoriza $6$ de $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $6$ de $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t) + 1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.4

Aplica la regla del producto a $6 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{3} {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.6

Multiplica los exponentes en ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 7.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {\sec (t)}^{2 \cdot 3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.7

Reescribe $216 \sec^{6} (t)$ como ${(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6$ .

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Paso 7.1.7.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{36 (6) \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.7.3

Reescribe $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 {(\sec^{3} (t))}^{2}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.7.4

Mueve $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.7.5

Reescribe $6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2}$ como ${(6 \sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{27} \int 6 \sec^{3} (t) \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ y $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3} \sec^{3} (t) \sqrt{6} d t$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3}$ y $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6 \sec^{3} (t)}{3} \sqrt{6} d t$

Paso 7.2.3

Multiplica $\sec^{2} (t)$ por $\sec^{3} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1

Mueve $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} (\sec^{3} (t) \sec^{2} (t)) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Paso 7.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} {\sec (t)}^{3 + 2} \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Paso 7.2.3.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Paso 7.2.4

Combina $\frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3}$ y $\sqrt{6}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6 \sqrt{6}}{3} d t$

Paso 7.2.5

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} d t$

Paso 7.2.6

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} d t$

Paso 7.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} d t$

Paso 7.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Paso 7.2.9

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \cdot \sec^{5} (t) {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Paso 7.2.10

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 7.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} d t$

Paso 7.2.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} d t$

Paso 7.2.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Paso 7.2.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Paso 7.2.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{1}}{3} d t$

Paso 7.2.10.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} d t$

Paso 7.2.11

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{36 \sec^{5} (t)}{3} d t$

Paso 7.2.12

Cancela el factor común de $36$ y $3$ .

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Paso 7.2.12.1

Factoriza $3$ de $36 \sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3} d t$

Paso 7.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 (1)} d t$

Paso 7.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 \cdot 1} d t$

Paso 7.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27} \int \frac{12 \sec^{5} (t)}{1} d t$

Paso 7.2.12.2.4

Divide $12 \sec^{5} (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{27} \int 12 \sec^{5} (t) d t$

Paso 8

Dado que $12$ es constante con respecto a $t$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$\frac{1}{27} (12 \int \sec^{5} (t) d t)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $12$ y $\frac{1}{27}$ .

$\frac{12}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $12$ y $27$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 (4)}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9} \int \sec^{5} (t) d t$

Paso 10

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 11

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Paso 12

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t))$

Paso 13

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t))$

Paso 14

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t))$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t))$

Paso 16.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t))$

Paso 17

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t))$

Paso 18

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 18.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t))$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Paso 18.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Paso 19

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t))$

Paso 20

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t))$

Paso 21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Paso 22

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t))$

Paso 23

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t))$

Paso 24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t))$

Paso 25

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t))$

Paso 26

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Paso 27

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Paso 28

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Paso 29

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 29.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 29.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 30

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C))$

Paso 31

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C))$

Paso 32

Simplifica.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Paso 33

Simplifica.

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Paso 33.1

Para escribir $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Paso 33.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 33.2.1

Multiplica $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Paso 33.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Paso 33.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2 + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Paso 33.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (t) \sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot (\tan (t) \sec^{3} (t)) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Paso 33.5

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{9 \cdot 8} + C$

Paso 33.6

Multiplica $9$ por $8$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{72} + C$

Paso 33.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 33.7.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Paso 33.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Paso 33.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{18} + C$

Paso 34

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})$ .

$\frac{2 \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \sec^{3} (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) |))}{18} + C$

Paso 35

Reordena los términos.

$\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

Paso 36

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$