Cálculo Ejemplos

$6 x e^{3 x}$

Paso 1

Escribe $6 x e^{3 x}$ como una función.

$f (x) = 6 x e^{3 x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 6 x e^{3 x} d x$

Paso 4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x e^{3 x} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Paso 8

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Paso 9

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 13

Reescribe $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Paso 15.1.3

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 15.3.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 15.3.3

Reescribe la expresión.

$2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Paso 15.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{3 x}}{9}$ al numerador.

$2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Paso 15.4.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Paso 15.4.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 15.4.4

Cancela el factor común.

$2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Paso 15.4.5

Reescribe la expresión.

$2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.5

Combina $2$ y $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Paso 15.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.8

Para escribir $2 x e^{3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.9

Combina $2 x e^{3 x}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.11.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.11.1.1

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Paso 15.11.1.2

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Paso 15.11.1.3

Factoriza $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Paso 15.11.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$\frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 6 x e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$