Cálculo Ejemplos

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Paso 1

Escribe $e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ como una función.

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = - x^{3} + 3 x$ y $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = - 3 x^{2} + 3$ y $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

Paso 7

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

Paso 8

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

Paso 9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

Paso 10

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Paso 12.2

Resta $6 x e^{x}$ de $3 x e^{x}$ .

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ .

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$