Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$

Paso 1

Escribe $\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{3 x + 1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 5

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (3 x + 1) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (3 x + 1) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (3 x + 1) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Expande $(3 x + 1) x^{- \frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{3}{2}}) + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x^{1 - \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 3 x^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.6

Resta $3$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.7

Multiplica $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int 3 x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 13

Simplifica.

$6 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$