Cálculo Ejemplos

$14 \sin^{4} (x)$

Paso 1

Escribe $14 \sin^{4} (x)$ como una función.

$f (x) = 14 \sin^{4} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 14 \sin^{4} (x) d x$

Paso 4

Dado que $14$ es constante con respecto a $x$ , mueve $14$ fuera de la integral.

$14 \int \sin^{4} (x) d x$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$14 \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Paso 5.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$14 \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

$14 \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$14 \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$14 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

$14 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$14 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Paso 9

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $14$ .

$\frac{14}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $14$ y $2$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.1.2.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 9.2

Reescribe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$7 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 9.3

Expande ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 9.3.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.7

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.8

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.9

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.10

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.11

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.12

Mueve los paréntesis.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.13

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.14

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.15

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.16

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.17

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.18

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 9.3.19

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 9.3.20

Mueve los paréntesis.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.21

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.22

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.23

Multiplica $1$ por $1$ .

$7 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.24

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$7 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.25

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.26

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.27

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.28

Combina $- \frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.29

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.30

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.31

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.32

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.33

Combina $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.34

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.35

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.36

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.37

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.38

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.39

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3.40

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.41

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.42

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.43

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.44

Suma $1$ y $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.45

Resta $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.46

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.47

Reordena $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.3.48

Reordena $\frac{1}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 9.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 9.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Paso 9.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Paso 9.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 9.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 9.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 12

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$7 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$7 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

$7 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$7 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 17

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 17.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 17.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 18

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 19

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 20

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 21

Aplica la regla de la constante.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 22

Combina $\frac{1}{4}$ y $u_{1}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 23

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 24

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Paso 25

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Simplifica.

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2

Simplifica.

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Paso 26.2.1

Para escribir $\frac{u_{1}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 26.2.2.1

Multiplica $\frac{u_{1}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$7 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 26.2.5

Suma $u_{1}$ y $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

$7 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

$7 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Paso 27

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 27.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 27.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 27.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 28

Simplifica.

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Paso 28.1

Reduce la expresión $\frac{3 (2 x)}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 28.1.1

Factoriza $2$ de $3 (2 x)$ .

$7 (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 28.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 28.1.3

Cancela el factor común.

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 28.1.4

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

$7 (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 28.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

$7 (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 29

Reordena los términos.

$7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 30

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 14 \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$