Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Expande $(x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} + 4 x) x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.5

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.7.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{1 - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.12

Resta $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.13

Reordena $x^{\frac{3}{2}}$ y $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 12

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 13

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.2

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.2.2

Reordena los términos.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$