Cálculo Ejemplos

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Combina $\sec^{2} (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9.3

Multiplica $\int \sec^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 10

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 12

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 12.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 12.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Paso 14.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$