Cálculo Ejemplos

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$

Paso 1

Escribe $(x - 4) \sqrt{x + 4}$ como una función.

$f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (x - 4) \sqrt{x + 4} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x - 4$ y $d v = \sqrt{x + 4}$ .

$(x - 4) (\frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 7

Sea $u = x + 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 7.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Paso 9.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Paso 9.2.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(x + 4)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$