Cálculo Ejemplos

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Paso 1

Escribe $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ como una función.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 6

Dado que $48$ es constante con respecto a $x$ , mueve $48$ fuera de la integral.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Paso 7

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 8

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 8.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 8.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Paso 8.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Paso 8.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Paso 8.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 8.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 8.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.5

Cancela el factor común de $2^{2}$ .

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Paso 8.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.6

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.7.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.7.1.2

Divide $(A) \cdot (2^{2})$ por $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.7.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Paso 8.1.7.4

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 8.1.7.4.1

Factoriza $x + 1$ de $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Paso 8.1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.7.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 8.1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Paso 8.1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Paso 8.1.7.4.2.4

Divide $B (2^{2} (x + 1))$ por $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Paso 8.1.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Paso 8.1.7.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Paso 8.1.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Paso 8.1.7.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Paso 8.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.8.1

Mueve $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Paso 8.1.8.2

Reordena $4 A$ y $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Paso 8.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 8.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 4 B$

Paso 8.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 8.3.1

Resuelve $B$ en $0 = 4 B$ .

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Paso 8.3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3.1.2

Divide cada término en $4 B = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 8.3.1.2.1

Divide cada término en $4 B = 0$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3.1.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Paso 8.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 8.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = 4 A + 4 B$ por $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.1

Simplifica $4 A + 4 (0)$ .

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Paso 8.3.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Paso 8.3.2.2.1.2

Suma $4 A$ y $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Paso 8.3.3

Resuelve $A$ en $1 = 4 A$ .

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Paso 8.3.3.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Paso 8.3.3.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 8.3.3.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 8.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 8.3.3.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 8.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Paso 8.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Paso 8.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Paso 8.5.2

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Paso 8.5.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Paso 8.5.4

Divide $0$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Paso 8.5.5

Elimina el cero de la expresión.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $- 48$ y $4$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $4$ de $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 10.2.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Paso 11

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Paso 12

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Paso 12.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 12.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Paso 15.2.2

Combina $12$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$