Cálculo Ejemplos

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ como $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Paso 4.2

Expande $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3.1.1.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Paso 4.3.1.2.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Paso 4.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 4.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 4.3.2

Reordena los factores de $\tan (x) \sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 4.3.3

Suma $\sec (x) \tan (x)$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 6

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 8

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Paso 9

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 12

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Suma $\tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$