Cálculo Ejemplos

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Paso 1

Escribe $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ como una función.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 1 - 2 x$ y $d v = \sqrt{x}$ .

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Paso 6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $- 2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

Paso 6.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ por $1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{4}{3}$ fuera de la integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 11.2

Reescribe $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ como $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Para escribir $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.3.2.1

Multiplica $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.4

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.5

Suma $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ y $8 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Paso 11.3.6

Factoriza $3$ de $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

Paso 11.3.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.7.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

Paso 11.3.7.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Paso 11.3.7.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.4

Simplifica.

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Paso 11.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.4.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 11.4.3

Multiplica $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ .

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Paso 11.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 11.4.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Paso 11.4.3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 11.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$