Cálculo Ejemplos

$3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Paso 1

Escribe $3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ como una función.

$f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + \int 16 x^{7} d x$

Paso 11

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 \int x^{7} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{1}{8} x^{8} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{x^{8}}{8} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 16 \frac{x^{8}}{8} + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Combina $16$ y $\frac{x^{8}}{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{16 x^{8}}{8} + C$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $8$ .

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Paso 13.3.2.1

Factoriza $8$ de $16 x^{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8} + C$

Paso 13.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 (1)} + C$

Paso 13.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 \cdot 1} + C$

Paso 13.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{8}}{1} + C$

Paso 13.3.2.2.4

Divide $2 x^{8}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{8} + C$

Paso 13.4

Reordena los términos.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$