Cálculo Ejemplos

$\frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Paso 1

Escribe $\frac{5}{9 x^{2} + 36}$ como una función.

$f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5}{9 x^{2} + 36} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 36} d x$

Paso 5

Reordena $9 x^{2}$ y $36$ .

$5 \int \frac{1}{36 + 9 x^{2}} d x$

Paso 6

Factoriza $9$ de $36 + 9 x^{2}$ .

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Paso 6.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$5 \int \frac{1}{9 \cdot 4 + 9 x^{2}} d x$

Paso 6.2

Factoriza $9$ de $9 \cdot 4$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 x^{2}} d x$

Paso 6.3

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 (x^{2})} d x$

Paso 6.4

Factoriza $9$ de $9 (4) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4 + x^{2})} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Paso 10.2

Reescribe $\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ como $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{5}{9}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$