Cálculo Ejemplos

${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$

Paso 1

Escribe ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ como una función.

$f (x) = {(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(3 + e^{x})}^{2} e^{x} d x$

Paso 4

Sea $u = 3 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{3} {(3 + e^{x})}^{3} + C$

Paso 7

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(3 + e^{x})}^{3} + C$