Cálculo Ejemplos

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Paso 1

Escribe $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ como una función.

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Paso 4.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 6

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

Paso 7

Multiplica $u^{9} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $u^{9}$ por $1$ .

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{9}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Paso 8.2.2

Suma $9$ y $2$ .

$\int u^{9} + u^{11} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{11}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$