Cálculo Ejemplos

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Paso 1

Escribe ${(6 x + 5)}^{2} d x$ como una función.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Paso 4

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Paso 5

Sea $u = 6 x + 5$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 6 x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Paso 6

Combina $\frac{1}{6}$ y $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Paso 7.2

Reordena $\frac{u^{2}}{6}$ y $- 1$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{u^{2}}{6}$ por $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.6

Suma $2$ y $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.7

Multiplica $6$ por $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Paso 7.8

Combina $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ y $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Paso 7.9

Combina $\frac{u^{2}}{6}$ y $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Paso 8.2

Reescribe $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ como $- \frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Paso 8.3

Reescribe $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ como un producto.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Paso 8.5

Multiplica $6$ por $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{36}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{36}$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Paso 12

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Paso 14

Dado que $\frac{5}{36}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{36}$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Paso 16.2

Simplifica.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$