Cálculo Ejemplos

$e^{- 4 x} d x$

Paso 1

Escribe $e^{- 4 x} d x$ como una función.

$f (x) = e^{- 4 x} d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{- 4 x} d x d x$

Paso 4

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int e^{- 4 x} x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 4 x}$ .

$d (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$d (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Paso 6.3

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ por $1$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Paso 10

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 10.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Paso 11.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Paso 14.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Paso 15

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Paso 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reescribe $d (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $d (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$d (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 16.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$d (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 16.2.2

Combina $e^{- 4 x}$ y $\frac{x}{4}$ .

$d (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 16.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{16}$ .

$d (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x$ .

$d (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$d (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{- 4 x} d x$ .

$F (x) =$ $d (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$